백준) 1781 컵라면

1781. 컵라면

문제

상욱 조교는 동호에게 N개의 문제를 주고서, 각각의 문제를 풀었을 때 컵라면을 몇 개 줄 것인지 제시 하였다. 하지만 동호의 찌를듯한 자신감에 소심한 상욱 조교는 각각의 문제에 대해 데드라인을 정하였다.

문제 번호	1	2	3	4	5	6	7
데드라인	1	1	3	3	2	2	6
컵라면 수	6	7	2	1	4	5	1

위와 같은 상황에서 동호가 2, 6, 3, 1, 7, 5, 4 순으로 숙제를 한다면 2, 6, 3, 7번 문제를 시간 내에 풀어 총 15개의 컵라면을 받을 수 있다.

문제는 동호가 받을 수 있는 최대 컵라면 수를 구하는 것이다. 위의 예에서는 15가 최대이다.

문제를 푸는데는 단위 시간 1이 걸리며, 각 문제의 데드라인은 N 이하이다. 또, 각 문제를 풀 때 받을 수 있는 컵라면 수와 최대로 받을 수 있는 컵라면 수는 모두 32비트 정수형 범위 이내이다.

입력

첫 줄에 숙제의 개수 N (1<=N<=200,000)이 들어온다. 다음 줄부터 N+1번째 줄까지 i+1번째 줄에 i번째 문제에 대한 데드라인과 풀면 받을 수 있는 컵라면 수가 공백으로 구분되어 입력된다.

출력

첫 줄에 동호가 받을 수 있는 최대 컵라면 수를 출력한다.

예제 입력 

7
1 6
1 7
3 2
3 1
2 4
2 5
6 1

예제 출력 

15

1. 접근

주어진 데드라인 안에서 최대한 많은 라면을 골라야 한다.

그리디 알고리즘 / 다이나믹 프로그래밍 선택.

2. 풀이

직관적으로, 최대한 많이 골라야 하므로 보상이 큰 숙제를 골라야 할 것 같다.

문제가 되는 경우는 {2, 20}, {2, 20}, {3, 10}  / {1, 20}, {2, 25}, {2, 30} 처럼 숙제 수를 만족하면서, 데드라인도 같은데, 보상도 앞뒤의 숙제보다 큰 경우다.

무식하게 데드라인이나, 컵라면 순으로 정렬하고 때려박는 방법은 통하지 않는다. (이것 때문에 엄청많이 틀렸다...)

이번엔 더 발전된 탐욕적 방법으로 :

데드라인 순으로 숙제들을 정렬한 다음에, 맨 앞의 숙제부터 데드라인을 만족한다면 일단 선택한 다음, 지금까지 선택된 숙제들 중에 현재의 데드라인을 만족할 때 까지 가장 컵라면 보상이 적은 숙제들을 선택에서 제외해 나가보자.

정당성을 증명하자면,

현재의 데드라인에서 가장 큰 보상안을 택하는 것보다, 다른 보상을 택하는 방법을 택하는 경우가 있을 것이다.

하지만 그런 경우를 통해 나중의 데드라인에서 이득을 볼 수 있지는 않다. 현재의 선택이 후의 선택에 영향을 주지 않기 때문이다.

탈락된 경우가 나중의 선택에 영향을 미치지 않는다는 뜻이기도 하다.

{1, 20}, {2, 25}, {2, 30} 를 예시로 들자면,

먼저 20개를 취한다. 다음으로 {2, 25}를 보자.

지금까지 숙제를 한 개 했으니까 가능하다. 25개를 취한다.

다음으로 {2, 30}을 본다. 이미 숙제를 두 개 해버렸기 때문에 할 수 없는 숙제다.

하지만 지금까지한 숙제중에 가장 보상이 작은 {1, 20}을 무른다면?

{2, 25}, {2, 30}으로 컵라면 보상이 제일 큰 선택이다.

3. 소스

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
 
typedef pair<int, int> p;
p ramen[200000];
priority_queue<int> pq;
int n, i, m, cnt, dl, sum;
 
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d %d", &ramen[i].first, &ramen[i].second);
    sort(ramen, ramen + n);
    for (i = 0; i < n; ++i) {
        dl = ramen[i].first;
        pq.push(-ramen[i].second);
 
        while (dl < pq.size())
            pq.pop();
    }
    while (!pq.empty()) {
        sum += pq.top();
        pq.pop();
    }
    printf("%d", -sum);
    return 0;
}

4. 후기

빠른 데드라인중 큰 애들을 취하는 방법은 뒤의 큰 선택을 버린다는 문제가 있다.

큰 보상안을 먼저 취하는 방법은 지금까지 고른 숙제 수, 실제 데드라인안에 풀 수 있는지를 감시하는 아이디어가 필요하다.

{3, 1}, {3, 1}, {3, 1}, {4, 100}, {4, 100} 이라면 답은 {3, 1}, {3, 1}, {4, 100}, {4, 100} 이지만

큰 보상안 부터 무식하게 고르는 방법으로는 어렵고 직관적이지 않다.