3780. 네트워크 연결

1
4
E 3
I 3 1
E 3
I 1 2
E 3
I 2 4
E 3
O

0
2
3
5

1. 접근

각 기업별로 서버를 갖고 있다. 서버는 네트워크로 연결될 수 있고, 네트워크에는 센터 서버가 있다.

따라서 현재 기업마다의 센터는 단일 네트워크이자, 센터 서버이다.

이제 네트워크들을 I 명령어로 연결하고자 한다.

I 1 2 라면, 센터 서버인 1서버와, 2서버를 연결한다. 주의할 점은 첫번째 서버는 반드시 센터 서버이고,

두번째 서버는 그 서버가 속한 네터워크의 센터 서버가 아닐 수도 있다.

또한 연결된 이후에는, 두 네트워크는 하나의 네트워크가 되며, 센터 서버는 두번 째 서버가 담당한다.

우리는 서버들을 노드로 표현할 수 있으며, 서버들의 종속관계를 간선으로 표현할 수 있다.

간선의 크기는 |i - j|(mod 1000)으로 지정된다.

이때 한 기업이 주어지면, 기업의 서버에서, 그 서버의 센터 서버까지의 경로의 길이 합을 구해야 한다.

그래프적인 방법으로 접근해보자.

2. 풀이

네트워크는 집합으로, 센터는 루트 노드로 생각한다면, 바로 디스조인트-셋을 사용할 생각이 든다.

센터노드는 하나이므로, 노드에서 나가는 간선은 최대 한개이기 때문이다.

하지만 문제는 길이 합을 구해야 하기 때문에, 매번 경로를 탐색한다면,

명령어의 수(200,000) * 최악의 경로(20,000)으로 시간초과가 날 것이다.

따라서 디스조인트의 연산을 활용하여, 연결 시 마다 네트워크의 종속관계를 갱신해주고, 길이도 갱신해보도록 하자.

연결을 담당하는 union()시 i는 기존의 센터이고, j는 새로운 센터가 될 서버이므로 매우 쉽게 연결과 길이 정의가 가능하다.

이제 find()가 길이 합을 계산해주는 역할을 해야 한다. find는 부모를 재귀적으로 따라가서 최종적으로 루트노드를 반환해주는 연산이다.

우리가 원하는 연산은 센터를 제외한 나머지 노드의 부모를 센터로 지정하고, 길이도 갱신해줘야 한다.

또한 x서버에서 센터까지 가는 경로는 유일하므로, find를 조금 바꿔주면 가능하다.

재귀적으로 루트노드 갱신을 해주는 원래 기능에, 길이 갱신만 추가하면 된다.

len[x] += len[parent[x]]

다음 예시로 어떤 동작을 해야하는지 알아보자.

I 1, 2

I 2, 3

E 1

위와 같은 경우에, union()을 두번 수행한 결과 1번 노드는 2번 노드를, 2번 노도는 3번 노드를 가리키고 있을 것이다.

이제 find(1)을 수행하면, 1번 노드는 3번 노드를 가리켜야 하고, 길이는 2번 노드의 것을 추가하여 갱신되어야 한다.

3. 코드

재귀를 알맞게 구성해내는 경험이 더러 필요하다.

10775 공항

4
3
4
1
1

2

4
6
2
2
3
3
4
4

3

1. 접근

비행기가 순차적으로 게이트에 도킹하며, 한 게이트에는 한 대만 도킹 할 수 있다.

비행기의 도착 게이트 번호(g)가 지정되면, 1번 부터 g번 까지 빈 게이트에 도킹할 수 있을 때, 최대한 많이 도킹시키고자 한다.

게이트를 노드로 생각하고, 간선은 이미 도킹된 게이트에 도착한 비행기의 차선책으로 생각해보면, 그래프적인 문제로 이해할 수 있다.

방 청소 문제 https://www.acmicpc.net/problem/9938 와 많이 비슷한 문제로, 디스조인트 셋을 활용해보자.

2. 풀이

비행기가 g번 보다 큰 게이트에는 도킹할 수 없다는 점을 주목하자.

직관적으로 최대한 많이 도킹시키려면 바로 g번 게이트에 도킹시키는게 효율적일 것이다.

비행기(g=2)과 비행기(g=1)가 주어진다면, 2번 게이트에 넣고, 1번 게이트에 도킹시켜야 둘다 도킹 시킬 수 있다.

방 청소 문제를 복기해보면, 간선을 비행기의 차선책을 나타내는 방법으로 사용했었다.

그러면 빈 노드를 find() 해보면 자신이 나올 것이고, 이미 도킹되어 있었으면 g보다 작은 게이트가 나올 것이다.

전략을 g가 비어있지 않으면 g-1에 도킹시키기기로 한다면, 여러 비행기들을 도킹시킨 후 새로운 비행기를 도킹시킬 때,

도킹 시킬 수 없음을 확인할 수 있는 방법은 무엇일까?

find(g)를 했을 때 0이 나오는지 확인하면 될 것이다. 현재 루트 노드는 차선책을 나타내고 있으므로, 0이 나온다면 도킹 불가능이다. 

3. 코드

9938. 방 청소

9 10
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
2 3
1 5
8 2
7 9

LADICA
LADICA
LADICA
LADICA
LADICA
LADICA
LADICA
LADICA
LADICA

1. 접근

L개의 빈 서랍이 있다. 서랍은 술병을 단 하나만 보관할 수 있으며, 1~N번이 적힌 술병은 보관될 수 있는 서랍이 A/B로 지정되어 있다.

술병들의 보관장소가 1번 술병부터 주어지고 규칙에 따라 바로 보관시킬 때, 보관할 수 있는지 없는지 확인해야 한다.

규칙은 다음과 같다.

1) A 서랍이 비었으면 바로 A에 보관

2) B 서랍이 비었으면 바로 B에 보관

3) A 서랍이 비지 않았으면 A서랍이 보관 중인 술병이 보관될 수 있는 다른 서랍으로 연쇄적으로 옮긴다.

즉, 최종적으로 빈 서랍을 찾을 때 까지 계속 술병을 규칙에 따라 옮겨야 한다.

4) B 서랍이 비지 않았다면 3)과 동일 하게 옮긴다.

5) 옮길 수 없다.

서랍을 노드로 생각하고, A/B를 간선이라 생각해보면

예제의 첫째 줄 " 1 2 " 는 1번 노드와 2번 노드를 잇는 간선으로 이해할 수 있다.

1번 노드가 불가능하면(이미 보관 중인 서랍이면) 1)규칙이 불가능하므로 2)규칙을 시도한다. (유향 간선을 타고 다음 노드로 간다)

2번 노드도 불가능하면 2번 노드에서 출발하는 다음 간선으로 가는 과정으로 이해할 수 있다.

2. 풀이

그래프적 분석을 완료했으니 실제로 그래프를 구현하고 매번 탐색을 시도하는 방법을 생각해 볼 수도 있다.

다음 예시 입력을 통해 어떤 변화가 생기는지 알아보자.

4 3

1 2

1 3

1 2

1 3

1번 술병은 곧바로 1번 서랍에 보관되고(주황색으로 표시), 다음 차선책으로 2번 서랍을 가리키고 있다.

1번 노드의 루트노드가 2다.

이제 2번 술병의 보관 장소가 주어지는데, 하필 1번 술병이 보관되고 있는 1번 서랍을 1순위로 두고 있다.

따라서 1번 술병을 차선책인(간선을 타고 이동해서) 2번 서랍에 보관하고, 2번 술병은 1번 서랍에 보관하자.

또한 2번 술병의 차선책인 3번 서랍을 간선으로 이어준다.

1번 노드의 루트 노드가 3으로 변경되었다.

3번 술병도 1순위로 1번 서랍을 원한다. 다행히 현재 1번 서랍이 보관하는 2번 술병은 3번 서랍에 보관될 수 있으므로 옮겨준다.

이제 1번 서랍은 3번 술병을 보관할 수 있다. 차선책인 2번 서랍을 간선으로 이어준다. 1번 노드의 루트 노드가 변경되었다.

당연히 이제 1번 서랍을 1순위로 원하는 술병이 주어지면 어디에도 보관될 수가 없다.("SMECE")

착안점은 한 노드에서 나가는 간선은 최대 1개라는 점이다. 이 점에서 우리는 디스조인트 셋을 쓸 수 있고, 속도의 이점을 얻는다.

대신 간선들의 모양은 위의 그림들과는 다르게 적용될 것이다.

( (1/2) 이후 (1/3)을 입력받으면 2에서 3으로 간선이 생긴다 )

루트노드가 중요한 역할을 한다. 연쇄적으로 수행되는 3), 4) 규칙의 최종적인 빈서랍 역할을 하는 것이다.

노드가 보관 중인지 아닌지는 간단히 배열로 나타낸다.

3. 코드

4195. 친구 네트워크

2
3
Fred Barney
Barney Betty
Betty Wilma
3
Fred Barney
Betty Wilma
Barney Betty

2
3
4
2
2
4

1. 접근

이름(노드)이 주어지고 친구 관계(간선)가 생길 때, 그래프의 노드가 총 몇개인지 출력해야 한다.

그래프의 노드 수를 최대한 빨리 알아내는게 관건이다.

2. 풀이

당장 떠오르는 건 그래프를 계속 만들어내면서 매번 순회하면서 트리에 존재하는 노드 수를 확인하는 방법이다.

하지만 그래프의 노드 수를 계속 기억하다가, 새로운 노드가 연결되면 거느린 노드 수를 하나 증가시키면 더 빠르지 않을까?

따라서 디스조인트-셋을 이용해서 집합(그래프)의 대표자가 거느린 노드 수를 기억하기로 하자.

그러면 어떤 두 친구를 입력받아도 대표자를 상수시간에 찾을 수 있고, 친구 수의 변화도 상수시간에 조정할 수 있다!

union() 연산을 약간 변형시켜서 친구 수도 기억하게 만들자.

3. 코드

매번 다른 친구를 입력받는다면 f * 2 까지 지정할 번호가 필요하다.

1976. 여행 가자

3
3
0 1 0
1 0 1
0 1 0
1 2 3

YES

1. 접근

무향 그래프가 주어지고, 방문해야할 노드 리스트가 주어질 때, 전부 해낼 수 있는지 판별해야 한다.

그래프를 구현하고, 실제로 노드들을 방문하면서 가능한지 판별할 수도 있지만, 순회를 얼마나 빨리하는지가 관건이다.

하지만 실제로 순회하기보다, 방문할 수 있는지 없는지 판별만 해주면 되므로,

리스트의 노드들이 신장트리를 구성하는지만 확인하면 된다.

노드들이 신장트리를 구성한다면, 신장트리의 루트노드는 하나로 정해져있으므로,

리스트의 노드들을 따라 루트노드까지 가보고, 같은 루트노드인지 확인하기로 하자.

결국 신장트리끼리 집합을 만들고, 루트노드만 기억해주면 되므로 디스조인트-셋을 사용하자.

2. 풀이

1이면 연결된 것이므로 union() 연산을 수행하고, 여행 계획을 따라가면서 루트 노드가 다르면 NO를 출력하자.

3. 코드

1717. 집합의 표현

7 8
0 1 3
1 1 7
0 7 6
1 7 1
0 3 7
0 4 2
0 1 1
1 1 1

NO
NO
YES

1. 접근

파티션질이 필요한 문제. 두 원소가 같은 집합에 있는지만 판별해주면 되므로 disjoint-set을 사용하자.

2. 풀이

원소들은 0 이상, 백만 이하의 정수이므로 백만칸 짜리 인트형 배열로 부모들을 저장해주자.

이어서 find() 연산과 union() 연산을 구현해주고

연산이 1이면 a와 b가 속한 집합의 대표가 find()로 같은지 확인하고, 0이면 union(a, b)를 수행한다.

3. 코드 

1. 디스조인트-셋 자료구조란?

disjoint-set / union-find / merge-find 등등으로 불린다.

이름만 봐도 눈치깔 수 있드시, 서로소(disjoint)인 집합들을 가지고 합칠 수도 있고(union, merge) 원소를 찾는 등의

집합질에 특화된 자료구조다.

우리 위키를 참조하자면, 이 자료구조는 여러 서로소(원소가 중복되지 않음) 부분집합들로 이루어지고,

새로운 집합을 추가하거나, 기존의 집합과 합치거나, 집합에 어떤 원소가 들어가 있는지를 찾는 연산을

거의 선형시간에 가깝게 수행하는 자료구조다!

2. 어디에 적용시킬까?

당연히 집합과 관련된(파티션질이 필요한) 문제에 써야한다.

우리는 이미 집합연산을 제공하는 stl을 알고 있다 set헤더에서 제공하는 set자료구조가 그것인데,

이 set 컨테이너는 정말 집합처럼 작동한다.

집합의 크기, 어떤 원소를 갖고 있는지 아닌지, 집합끼리의 비교도 가능하다.

이 컨테이너는 노드 기반 컨테이너이며 균형 이진트리로 구축된다.

따라서 찾기연산과 삽입연산은 로그 시간의 복잡도를 가진다고 한다.

디스조인트-셋 자료구조의 강점은 set 컨테이너보다 빠른 시간에 있다.

하지만 세상에 공짜는 없는법, 이 자료구조도 특성상 몇가지 결점이 있다.

작동원리를 세부적으로 보면서 알아보자.

1) makeset 연산

새로운 한 원소를 대표로 하는 집합을 만드는 연산이다.

function MakeSet(x)
     add x to the disjoint-set tree
     x.parent := x

parent는 x의 부모로, 계속해서 parent를 찾아가서 x가 속한 집합의 대표를 찾는데 사용한다.

2) find 연산

이 연산은 x를 포함하는 집합의 대표원소를 찾는 연산이다.

function Find(x)
   if x.parent != x
     x.parent := Find(x.parent)
   return x.parent

x부터 시작하여 계속 parent를 찾아 재귀적으로 다시 find를 호출하는 모습을 볼 수 있다.

마지막엔 자기자신을 부모로 갖고있는 원소가 리턴되는데 이 원소가 바로 집합의 대표원소다.

만약 집합 {1}과 {3}이 있었는데, 전자를 후자에 합쳤다고 해보자. {3, {1}} 그러면 이 집합의 대표는 3이다.

find(1) = 3. find(3) = 3.

3) union 연산

합집합을 담당하는 연산이다.

두 원소를 매개변수로 하고, 각각의 대표들을 찾아 하나로 통일하는 과정을 거친다.

function Union(x, y)
   xRoot := Find(x)
   yRoot := Find(y)
   
   xRoot.parent := yRoot

여기서는 x가 포함된 집합을 y가 포함된 집합에 합치는 모습을 볼 수 있다.

의사코드를 봐도 매우 간단한 모습을 보인다.

set은 이진트리의 구조를 가지지만, 디스조인트-셋은 트리처럼 동작하는 parent 배열만 갖고 있어도 잘 동작한다.

이 점에서 속도의 장점을 얻는다.

위대하신 위키께서 이 과정을 그림으로 잘 설명해주셨다.

다섯 가지의 원소들로 집합질을 하는 과정을 잘 보여준다.

단점은 그래프구조를 모방한 구조에서 비롯된다. 대표자(루트노드)만을 내새운 방법 때문에, 다른 노드끼리의 그래프질은 불가능하다.

실제로 구현해보면 알겠지만, 대표번호만 맞을 뿐 속의 노드관계는 우리가 상상한 그래프와는 전혀 다른 모습을 가진다.

(비슷하게 하려면 더욱 개선된 디스조인트 연산들이 필요하다)

따라서 이 점 때문에 각 집합의 대표자만 연관된 문제들에 대해 이 자료구조를 적용할 수 있을 것이다.

나중에 최소신장트리를 구성하는데 이 자료구조를 활용하기도 한다. (아직 잘 모르니까 소개는 이정도로 ㅎㅎ)

2-1) 적용문제 1 : 집합의 표현

https://www.acmicpc.net/problem/1717

문제 제목부터 집합을 표현할 자료구조를 요구하고 있다.

{0}, {1}, {2}, {3}, ... {n} 의 부분집합들이 있다. 집합들을 합치기 전후로, 두 원소가 주어질 때, 두 원소가 같은 집합에 있는지 구해야 한다.

0~n까지의 부모번호를 저장하는 parent[] 배열을 준비한다. 각 원소는 자기자신의 번호로 초기화한다.

합집합 (0 a b)을 요구하면 union연산 (O(α(n)) = O(1)) 을,

같은 집합인지 알아보는 연산은(1 a b) 각각의 부모를 찾아( find(a), find(b) = (O(α(n)) = O(1))) 같은 부모(대표)인지 보면 된다.

코드 : http://js1jj2sk3.tistory.com/16?category=728064

2-2) 적용문제 2 : 여행 가자

https://www.acmicpc.net/problem/1976

그래프질이 필요한 문제다.

n개의 도시들이 주어지고, 각 도시를 잇는 도로가 있다.

여행계획이 주어질 때, 도로를 따라 계획대로 전부 방문할 수 있는지 없는지 판별해야 한다.

대충 생각해보자면, 여행계획대로 순서대로 실제로 그래프를 순회해보면서 방문가능한지를 계속 판별해야 할 것같다.

하지만 단순히 생각해보자면, 어쨌든 방문만 하면 되므로,

여행계획에 포함된 도시들이 같은 집합이기만 하면(신장트리라면) 방문 할 수 있다고 판별할 수 있다.

따라서 1번 도시와 2번도시가 연결되어 있다면 union(1, 2)으로 묶어주고(O(α(n)) = O(1)) 

여행계획의 도시들이 같은 집합인지 find()로 판별한다.(O(α(n))= O(1))

코드 : http://js1jj2sk3.tistory.com/17?category=728064