백준) 2098 외판원 순회

2098. 외판원 순회

https://www.acmicpc.net/problem/2098

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다; 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2<=N<=16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

예제 입력 

4
0 10 15 20
5  0  9 10
6 13  0 12
8  8  9  0

예제 출력 

35

1. 접근

DP로 완전탐색 하자

2. 풀이

모든 방문경로를 dp 배열에 담으려면 dp를 어떻게 정의해야 할까?

일단 한 번 방문한 도시로는 돌아가지 않으니까(사이클 없슴) 마지막으로 방문한 도시로 경로를 일단 나눠볼 수 있다.

하지만 이것만으로는 부족하니까 지금까지 어떤 도시를 방문했는지를 기억해야 한다.

따라서 1->3->4->2 와 1->4->3->2 는 같은 dp칸에 담기겠지만, 두 경로 중 최소값이 dp에 담길 것이므로 문제에 적합하다.

dp[cur][stat] = 현재 내위치가 cur이고, 지금까지 stat의 도시들을 방문했을 때 최소값.

stat을 비트로 표현한다면 적당하다. 0이면 미방문이고, 1이면 방문했다.

예시의 경우 dp[2][000...1111]이 되겠다.

이제 dp를 채워줄 함수를 정의해보자.

func(int cur, int stat) = dp[cur][stat]을 계산해준다.

다음 지점을 방문할 때 계산은 어떻게 해야할까?

stat을 보고 해당비트가 0인 도시에 대해 함수를 콜하면 되겠다.

3. 코드

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
int n, all;
int cost[16][16];
int dp[16][1 << 16];
 
int func(int cur, int stat) {
    if (stat == all) {
        if (cost[cur][0] == 0)
            return 987654321;
        else
            return cost[cur][0];
    }
 
    int& ref = dp[cur][stat];
    if (ref != 0)
        return ref;
 
    int m = INT_MAX - 16000001;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (((stat&(1 << i)) == 0) && (cost[cur][i] != 0))
            m = min(m, func(i, (stat | (1 << i))) + cost[cur][i]);
    }
 
    return ref = m;
}
 
int main() {
    scanf("%d", &n);
    all = (1 << n) - 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            scanf("%d", &cost[i][j]);
 
    printf("%d", func(0, 1));
    return 0;
}

4. 후기

방문안한 지점중에 최소값을 찾는 부문에 무턱대고 int m = INT_MAX 을 써버렸더니 틀려버렸다..

생각해보니 포문을 돌고나도 여전히 INT_MAX라 리턴해버리면 다른데가서 cost가 더해져버리고 엉망이 되는 경우가 있었다.

빡대가리