백준) 1647 도시 분할 계획

1647. 도시 분할 계획

문제

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 집의 개수N, 길의 개수M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C라는 뜻이다.

출력

첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최소값을 출력한다.

예제 입력 

7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4

예제 출력 

8

1. 접근

마을 안에 길이 너무 많아서 최소신장트리로 만들려고 한다.

단 마을을 둘로 나누고자 한다. 즉, 트리를 두개로 나누려고 하는 것이다.

최소신장트리이니 일단 크루스칼 알고리즘을 쓰기로 한다.

2. 풀이

일단 마을을 최소신장트리로 만들어보자.

그러면 길은 N - 1개일 것이다. 이 트리에서 간선을 하나 제거해서 한 집을 똑 떼어놓아 보자.

그러면 기존의 트리는 N - 2개의 길로 이루어졌고, N - 1개를 포함하는 최소신장트리이다.

당연히 떨어진 집은 자체로도 마을이고 최소신장트리이다.

그러면 제거할 간선의 기준은 어떻게 되겠는가? 트리 중 가장 큰 간선이다.

이 간선은 또한 크루스칼 알고리즘의 가장 마지막에 합류한 간선이다.

따라서 길을 N - 2개 까지만 크루스칼 알고리즘을 진행해도 같은 결과를 얻을 수 있다.

마을을 두개로 나누는 방법은 여러가지이지만, 간선의 수 (N-2) 는 동일하다.

따라서 가장 큰 간선을 제거하는 위의 방법이 최소임은 보장된다.

참고 : http://js1jj2sk3.tistory.com/22

3. 코드

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
struct edge {
    int weight, from, to;
};
bool operator<(const edge& e1, const edge& e2) {
    return e1.weight < e2.weight;
}
edge E[1000001];
 
int v, e, a, b, c, i, cnt, sum;
int parent[100001];
 
int find(int x) {
    if (x == parent[x])
        return x;
    else
        return parent[x] = find(parent[x]);
}
 
void unite(int x, int y) {
    x = parent[x];
    y = parent[y];
    parent[x] = y;
}
 
int main() {
    scanf("%d %d", &v, &e);
    for (i = 0; i < e; ++i) {
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        E[i] = { c,a,b };
    }
    for (i = 1; i <= v; ++i)
        parent[i] = i;
    sort(E, E + e);
 
    i = 0;
    while (cnt != v - 2) {
        a = E[i].from;
        b = E[i].to;
        if (find(a) != find(b)) {
            unite(a, b);
            cnt++;
            sum += E[i].weight;
        }
        i++;
    }
    printf("%d", sum);
    return 0;
}